Возможно, несправедливо по отношению к нашим предшественникам сосредоточиваться на современном математическом мышлении, давая лишь краткие ссылки на тех пионеров, которые сделали первые и, может быть, самые трудные шаги.
Однако почти все полезное, сделанное в математике до XVII в., имеет две следующие особенности: или оно столь упрощено, что является сейчас составной частью элементарного школьного курса, или уже давно поглощено как частность в трудах большей общности.
Многие вещи, которые кажутся нам теперь чрезвычайно простыми, подсказываемыми обычным здравым смыслом, например позиционная система записи чисел и введение знака для обозначения нуля, что явилось существенным заключительным моментом для нее, изобрести было необычайно трудно. Даже более простые понятия, заключающие в себе самую сущность математического мышления, — абстракция и общность — требовали столетий борьбы, чтобы утвердиться и оформиться, а их создатели исчезли, не оставив ни следа своей жизни, своей личности.
То же можно сказать о понятии точки, которое кажется нам (ошибочно) абсолютно понятным при первом ознакомлении с геометрией в школе, а значительно позже в жизни человека представляется удивительным созданием воображения. Гораций Лэмб — английский ученый в области математической физики — предлагал «воздвигнуть памятник неизвестному математику — изобретателю математической точки как высшего типа той абстракции, которая является необходимым условием научного исследования с самого его начала».
Между прочим, кто же все-таки изобрел математическую точку?
В одном смысле это мог быть лэмбовский «неизвестный»; в другом — Евклид с его определением «Точка есть то, что не имеет частей и не имеет величины»; в третьем — Декарт, который ввел в математику «координаты точки»; развитие понятия привело к тому, что сейчас таинственная «точка» стала столь же забытой, как и ее изобретатель, и уступила место гораздо более удобному в геометрии представлению — совокупности чисел, записанных в определенном порядке.
Последнее представляет современный пример абстрактности и точности, к которым постоянно стремится математика, причем нужно понимать, что все повышающиеся требования к абстрактности и точности вытекают из повышающихся требований к ясности. Наше собственное представление о «точке», несомненно, разовьется во что-то еще более абстрактное. Действительно, «числа», с помощью которых описываются теперь точки, в начале этого века растворились в голубом мерцании чистой логики, которая, в свою очередь, кажется почти исчезающей в чем-то более разреженном и столь же менее вещественном.
