Можно считать, что современная наука только подтвердила, развила, наполнила новыми особенностями древний принцип: «все во всем», или «что наверху, то и внизу», который на современном языке можно понимать как указание на то, что мир самоподобен, т. е. что его части устроены так же, как и целое.
Обозначением, символом самоподобия в современной математике и является относительно недавно возникшее геометрическое понятие — фрактал. Еще один важный раздел курса состоит из примеров нелинейных систем со сложным поведением. Это нелинейные волны, неравновесные термодинамические системы, модели химической кинетики, популяционной биологии, режимы с обострением. Изучаются особенности поведения активных сред, модели клеточных автоматов, нейронных сетей. Общим для них является явление самоорганизации.
Всем нам знакома ситуация, когда с любовью наведенный порядок в нашей квартире через несколько дней сменяется хаосом — это очень наглядная иллюстрация ко второму началу термодинамики, гласящему, что в замкнутой системе энтропия не убывает. Этот закон, открытый в XIX веке, наводит на мысль, что время в нашем мире всегда течет «в одну сторону», это направление мы называем «от прошлого к будущему».
С другой стороны, есть и другие примеры, когда беспорядочное поведение системы обретает порядок — из хаотического движения молекул возникают турбулентные вихри, из лишенных структуры скоплений достаточно простого по своему составу межзвездного вещества рождаются звезды, производящие в своих недрах более сложные химические элементы, рождаются и развиваются живые существа и т. п. Это примеры сложных нелинейных незамкнутых систем, которым свойственна тенденция, противоположная предписываемой вторым началом.
Теперь рассмотрим корреляцию. Корреляцией называется статистическая зависимость нескольких независимых друг от друга величин. Если значение одной из них изменилось, то и значения других обязательно поменяются. Значимость коэффициента корреляции для математики в целом сложно переоценить. Пример расчета уравнения регрессии дан на math.semestr.ru.
